фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. в математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле минковского или хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

термин

слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:
[list]
[*] обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. в этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
[*] является самоподобной или приближённо самоподобной.
[*] обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
[/list]
многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

история

первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в xix веке (например, множество кантора). термин «фрактал» был введён бенуа мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «фрактальная геометрия природы».

примеры

самоподобные множества с необычными свойствами в математике

начиная с конца xix века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. к ним можно отнести следующие:
[list]
[*]    множество кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
[*]    треугольник серпинского и ковёр серпинского — аналоги множества кантора на плоскости.
[*]    губка менгера — аналог множества кантора в трёхмерном пространстве;
[*]    примеры вейерштрасса и ван дер вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
[*]    кривая коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
[*]    кривая пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
[*]    траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. её хаусдорфова размерность равна двум.
[/list]
рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). в получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. на рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой коха.

примерами таких кривых служат:
[list]
[*]    кривая дракона,
[*]    кривая коха,
[*]    кривая леви,
[*]    кривая минковского,
[*]    кривая пеано.
[/list]
с помощью похожей процедуры получается дерево пифагора.

стохастические фракталы

природные объекты часто имеют фрактальную форму. для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. примеры стохастических фракталов:
[list]
[*]    траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
[*]    граница траектории броуновского движения на плоскости. в 2001 году лоулер, шрамм и вернер доказали предположение мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
[*]    эволюции шрамма-лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели изинга и перколяции.
[*]    различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
[/list]
в природе
[list]
[*]    бронхиальное дерево
[*]    сеть кровеносных сосудов
[*]    деревья
[*]    молния
[/list]
Зарегистрируйтесь, чтобы увидеть ссылкиисточник

определение фрактала

сам мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). и одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. так, в одном из примеров мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге б.мандельброта "the fractal geometry of nature" ставший классическим - "какова длина берега британии?". ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. в итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега британии бесконечна.

типы фракталов

фракталы делятся на группы. самые большие группы это:
[list]
[*]    геометрические фракталы
[*]    алгебраические фракталы
[*]    системы итерируемых функций
[*]    стохастические фракталы
[/list]
Зарегистрируйтесь, чтобы увидеть ссылкичитать подробнее >>>